文章目录
一、偏导数的定义及其计算法二、高阶偏导数
一、偏导数的定义及其计算法
定义 设函数
z
=
f
(
x
,
y
)
z=f(x, y)
z=f(x,y) 在点
(
x
0
,
y
0
)
\left(x_{0}, y_{0}\right)
(x0,y0) 的某一邻域内有定义，当
y
y
y 固定在
y
0
y_{0}
y0 而
x
x
x 在
x
0
x_{0}
x0 处有增量
Δ
x
\Delta x
Δx 时，相应的函数有增量
f
(
x
0
+
Δ
x
,
y
0
)
−
f
(
x
0
,
y
0
)
f\left(x_{0}+\Delta x, y_{0}\right)-f\left(x_{0}, y_{0}\right)
f(x0+Δx,y0)−f(x0,y0)
如果
lim
Δ
x
→
0
f
(
x
0
+
Δ
x
,
y
0
)
−
f
(
x
0
,
y
0
)
Δ
x
\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f\left(x_{0}+\Delta x, y_{0}\right)-f\left(x_{0}, y_{0}\right)}{\Delta x}
Δx→0limΔxf(x0+Δx,y0)−f(x0,y0)
存在，那么称此极限为函数
z
=
f
(
x
,
y
)
z=f(x, y)
z=f(x,y) 在点
(
x
0
,
y
0
)
\left(x_{0}, y_{0}\right)
(x0,y0) 处 对
x
x
x 的偏导数 ，记作
∂
z
∂
x
∣
x
=
x
0
y
=
y
0
,
∂
f
∂
x
∣
x
=
x
0
y
=
y
0
,
z
x
∣
x
=
x
0
y
=
y
0
或
f
x
(
x
0
,
y
0
)
.
\left.\frac{\partial z}{\partial x}\right|_{\substack{x=x_{0} \\ y=y_{0}}},\left.\quad \frac{\partial f}{\partial x}\right|_{\substack{x=x_{0} \\ y=y_{0}}},\left.\quad z_{x}\right|_{\substack{x=x_{0} \\ y=y_{0}}} 或 f_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right) .
∂x∂z
x=x0y=y0,∂x∂f
x=x0y=y0,zx∣x=x0y=y0或fx(x0,y0).
例如，极限（2－1）可以表示为
f
x
(
x
0
,
y
0
)
=
lim
Δ
x
→
0
f
(
x
0
+
Δ
x
,
y
0
)
−
f
(
x
0
,
y
0
)
Δ
x
f_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right)=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f\left(x_{0}+\Delta x, y_{0}\right)-f\left(x_{0}, y_{0}\right)}{\Delta x}
fx(x0,y0)=Δx→0limΔxf(x0+Δx,y0)−f(x0,y0)
类似地，函数
z
=
f
(
x
,
y
)
z=f(x, y)
z=f(x,y) 在点
(
x
0
,
y
0
)
\left(x_{0}, y_{0}\right)
(x0,y0) 处 对
y
y
y 的偏导数 定义为
lim
Δ
y
→
0
f
(
x
0
,
y
0
+
Δ
y
)
−
f
(
x
0
,
y
0
)
Δ
y
,
\lim _{\Delta y \rightarrow 0} \frac{f\left(x_{0}, y_{0}+\Delta y\right)-f\left(x_{0}, y_{0}\right)}{\Delta y},
Δy→0limΔyf(x0,y0+Δy)−f(x0,y0),
记作
∂
z
∂
y
∣
x
=
x
0
y
=
y
0
,
∂
f
∂
y
∣
x
=
x
0
y
=
y
0
,
z
y
∣
x
=
x
0
y
=
y
0
或
f
y
(
x
0
,
y
0
)
.
\left.\frac{\partial z}{\partial y}\right|_{\substack{x=x_{0} \\ y=y_{0}}},\left.\quad \frac{\partial f}{\partial y}\right|_{\substack{x=x_{0} \\ y=y_{0}}},\left.\quad z_{y}\right|_{\substack{x=x_{0} \\ y=y_{0}}} 或 f_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right) .
∂y∂z
x=x0y=y0,∂y∂f
x=x0y=y0,zy∣x=x0y=y0或fy(x0,y0).
如果函数
z
=
f
(
x
,
y
)
z=f(x, y)
z=f(x,y) 在区域
D
D
D 内每一点
(
x
,
y
)
(x, y)
(x,y) 处对
x
x
x 的偏导数都存在，那么这个偏导数就是
x
,
y
x, y
x,y 的函数，它就称为函数
z
=
f
(
x
,
y
)
z=f(x, y)
z=f(x,y) 对自变量
x
x
x 的偏导函数 ，记作
∂
z
∂
x
,
∂
f
∂
x
,
z
x
或
f
x
(
x
,
y
)
.
\frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial x}, z_{x} 或 f_{x}(x, y) .
∂x∂z,∂x∂f,zx或fx(x,y).
类似地，可以定义函数
z
=
f
(
x
,
y
)
z=f(x, y)
z=f(x,y) 对自变量
y
y
y 的偏导函数 ，记作
∂
z
∂
y
,
∂
f
∂
y
,
z
y
或
f
y
(
x
,
y
)
.
\frac{\partial z}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial y}, z_{y} 或 f_{y}(x, y) .
∂y∂z,∂y∂f,zy或fy(x,y).
由偏导函数的概念可知，
f
(
x
,
y
)
f(x, y)
f(x,y) 在点
(
x
0
,
y
0
)
\left(x_{0}, y_{0}\right)
(x0,y0) 处对
x
x
x 的偏导数
f
x
(
x
0
,
y
0
)
f_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right)
fx(x0,y0) 显然就是偏导函数
f
x
(
x
,
y
)
f_{x}(x, y)
fx(x,y) 在点
(
x
0
,
y
0
)
\left(x_{0}, y_{0}\right)
(x0,y0) 处的函数值；
f
y
(
x
0
,
y
0
)
f_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right)
fy(x0,y0) 就是偏导函数
f
y
(
x
,
y
)
f_{y}(x, y)
fy(x,y) 在点
(
x
0
,
y
0
)
\left(x_{0}, y_{0}\right)
(x0,y0) 处的函数值．就像一元函数的导函数一样，以后在不至于混淆的地方也把偏导函数简称为 偏导数 ．
至于实际求
z
=
f
(
x
,
y
)
z=f(x, y)
z=f(x,y) 的偏导数，并不需要用新的方法，因为这里只有一个自变量在变动，另一个自变量是看做固定的，所以仍旧是一元函数的微分法问题．求
∂
f
∂
x
\cfrac{\partial f}{\partial x}
∂x∂f 时，只要把
y
y
y 暂时看做常量而对
x
x
x 求导数；求
∂
f
∂
y
\cfrac{\partial f}{\partial y}
∂y∂f 时，只要把
x
x
x 暂时看做常量而对
y
y
y 求导数．
偏导数的概念还可推广到二元以上的函数．例如三元函数
u
=
f
(
x
,
y
,
z
)
u=f(x, y, z)
u=f(x,y,z) 在点
(
x
,
y
,
z
)
(x, y, z)
(x,y,z)处对
x
x
x 的偏导数定义为
f
x
(
x
,
y
,
z
)
=
lim
Δ
x
→
0
f
(
x
+
Δ
x
,
y
,
z
)
−
f
(
x
,
y
,
z
)
Δ
x
f_{x}(x, y, z)=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(x+\Delta x, y, z)-f(x, y, z)}{\Delta x}
fx(x,y,z)=Δx→0limΔxf(x+Δx,y,z)−f(x,y,z)
其中
(
x
,
y
,
z
)
(x, y, z)
(x,y,z) 是函数
u
=
f
(
x
,
y
,
z
)
u=f(x, y, z)
u=f(x,y,z) 的定义域的内点．它们的求法也仍旧是一元函数的微分法问题．
我们知道，对一元函数来说，
d
y
d
x
\cfrac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}
dxdy 可看做函数的微分
d
y
\mathrm{d} y
dy 与自变量的微分
d
x
\mathrm{d} x
dx 之商．而上式表明，偏导数的记号是一个整体记号，不能看做分子与分母之商．
二元函数
z
=
f
(
x
,
y
)
z=f(x, y)
z=f(x,y) 在点
(
x
0
,
y
0
)
\left(x_{0}, y_{0}\right)
(x0,y0) 的偏导数有下述几何意义．
设
M
0
(
x
0
,
y
0
,
f
(
x
0
,
y
0
)
)
M_{0}\left(x_{0}, y_{0}, f\left(x_{0}, y_{0}\right)\right)
M0(x0,y0,f(x0,y0)) 为曲 面
z
=
f
(
x
,
y
)
z= f(x, y)
z=f(x,y) 上的一点，过
M
0
M_{0}
M0 作平面
y
=
y
0
y=y_{0}
y=y0 ，截此曲面得一曲线，此曲线在平面
y
=
y
0
y=y_{0}
y=y0 上的方程为
z
=
f
(
x
,
y
0
)
z=f\left(x, y_{0}\right)
z=f(x,y0) ，则导数
d
d
x
f
(
x
,
y
0
)
∣
x
=
x
0
\left.\cfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} f\left(x, y_{0}\right)\right|_{x=x_{0}}
dxdf(x,y0)
x=x0 ，即偏导数
f
x
(
x
0
,
y
0
)
f_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right)
fx(x0,y0) ，就是这曲线在点
M
0
M_{0}
M0 处的切线
M
0
T
x
M_{0} T_{x}
M0Tx 对
x
x
x 轴的斜率（图9－5）。同样，偏导数
f
y
(
x
0
,
y
0
)
f_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right)
fy(x0,y0) 的几何意义是曲面被平面
x
=
x
0
x=x_{0}
x=x0 所截得的曲线在点
M
0
M_{0}
M0 处的切线
M
0
T
y
M_{0} T_{y}
M0Ty 对
y
y
y 轴的斜率．
我们已经知道，如果一元函数在某点具有导数，那么它在该点必定连续．但对于多元函数来说，即使各偏导数在某点都存在，也不能保证函数在该点连续．这是因为各偏导数存在只能保证点
P
P
P 沿着平行于坐标轴的方向趋于 $ P_{0} $ 时，函数值
f
(
P
)
f(P)
f(P) 趋于
f
(
P
0
)
f\left(P_{0}\right)
f(P0)，但不能保证点
P
P
P 按任何方式趋于 $P_{0} $ 时，函数值
f
(
P
)
f(P)
f(P) 都趋于
f
(
P
0
)
f\left(P_{0}\right)
f(P0) ．例如，函数
z
=
f
(
x
,
y
)
=
{
x
y
x
2
+
y
2
,
x
2
+
y
2
≠
0
0
,
x
2
+
y
2
=
0
z=f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll} \cfrac{x y}{x^{2}+y^{2}}, & x^{2}+y^{2} \neq 0 \\ 0, & x^{2}+y^{2}=0 \end{array}\right.
z=f(x,y)=⎩
⎨
⎧x2+y2xy,0,x2+y2=0x2+y2=0
在点
(
0
,
0
)
(0,0)
(0,0) 处对
x
x
x 的偏导数为
f
x
(
0
,
0
)
=
lim
Δ
x
→
0
f
(
0
+
Δ
x
,
0
)
−
f
(
0
,
0
)
Δ
x
=
lim
Δ
x
→
0
0
=
0
;
f_{x}(0,0)=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(0+\Delta x, 0)-f(0,0)}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} 0=0 ;
fx(0,0)=Δx→0limΔxf(0+Δx,0)−f(0,0)=Δx→0lim0=0;
同样有
f
y
(
0
,
0
)
=
lim
Δ
y
→
0
f
(
0
,
0
+
Δ
y
)
−
f
(
0
,
0
)
Δ
y
=
lim
Δ
y
→
0
0
=
0
f_{y}(0,0)=\lim _{\Delta y \rightarrow 0} \frac{f(0,0+\Delta y)-f(0,0)}{\Delta y}=\lim _{\Delta y \rightarrow 0} 0=0
fy(0,0)=Δy→0limΔyf(0,0+Δy)−f(0,0)=Δy→0lim0=0 但我们已经知道这函数在点
(
0
,
0
)
(0, 0)
(0,0) 并不连续。
二、高阶偏导数
设函数
z
=
f
(
x
,
y
)
z=f(x, y)
z=f(x,y) 在区域
D
D
D 内具有偏导数
∂
z
∂
x
=
f
x
(
x
,
y
)
,
∂
z
∂
y
=
f
y
(
x
,
y
)
,
\cfrac{\partial z}{\partial x}=f_{x}(x, y), \quad \cfrac{\partial z}{\partial y}=f_{y}(x, y),
∂x∂z=fx(x,y),∂y∂z=fy(x,y),
于是在
D
D
D 内
f
x
(
x
,
y
)
,
f
y
(
x
,
y
)
f_{x}(x, y), f_{y}(x, y)
fx(x,y),fy(x,y) 都是
x
,
y
x, y
x,y 的函数．如果这两个函数的偏导数也存在，那么称它们是函数
z
=
f
(
x
,
y
)
z=f(x, y)
z=f(x,y) 的 二阶偏导数 ．按照对变量求导次序的不同有下列四个二阶偏导数：
∂
∂
x
(
∂
z
∂
x
)
=
∂
2
z
∂
x
2
=
f
x
x
(
x
,
y
)
,
∂
∂
y
(
∂
z
∂
x
)
=
∂
2
z
∂
x
∂
y
=
f
x
y
(
x
,
y
)
∂
∂
x
(
∂
z
∂
y
)
=
∂
2
z
∂
y
∂
x
=
f
y
x
(
x
,
y
)
,
∂
∂
y
(
∂
z
∂
y
)
=
∂
2
z
∂
y
2
=
f
y
y
(
x
,
y
)
\begin{array}{ll} \cfrac{\partial}{\partial x}\left(\cfrac{\partial z}{\partial x}\right)=\cfrac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}=f_{x x}(x, y), & \cfrac{\partial}{\partial y}\left(\cfrac{\partial z}{\partial x}\right)=\cfrac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}=f_{x y}(x, y) \\ \cfrac{\partial}{\partial x}\left(\cfrac{\partial z}{\partial y}\right)=\cfrac{\partial^{2} z}{\partial y \partial x}=f_{y x}(x, y), & \cfrac{\partial}{\partial y}\left(\cfrac{\partial z}{\partial y}\right)=\cfrac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}=f_{y y}(x, y) \end{array}
∂x∂(∂x∂z)=∂x2∂2z=fxx(x,y),∂x∂(∂y∂z)=∂y∂x∂2z=fyx(x,y),∂y∂(∂x∂z)=∂x∂y∂2z=fxy(x,y)∂y∂(∂y∂z)=∂y2∂2z=fyy(x,y)
其中第二、三两个偏导数称为 混合偏导数 ．同样可得三阶、四阶
⋯
⋯
\cdots \cdots
⋯⋯ 以及
n
n
n 阶偏导数．二阶及二阶以上的偏导数统称为 高阶偏导数 ．
定理 如果函数
z
=
f
(
x
,
y
)
z=f(x, y)
z=f(x,y) 的两个二阶混合偏导数
∂
2
z
∂
y
∂
x
\cfrac{\partial^{2} z}{\partial y \partial x}
∂y∂x∂2z 及
∂
2
z
∂
x
∂
y
\cfrac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}
∂x∂y∂2z 在区域
D
D
D 内连续，那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等．
换句话说，二阶混合偏导数在连续的条件下与求导的次序无关。
例 7 验证函数
z
=
ln
x
2
+
y
2
z=\ln \sqrt{x^{2}+y^{2}}
z=lnx2+y2
满足方程
∂
2
z
∂
x
2
+
∂
2
z
∂
y
2
=
0.
\cfrac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}+\cfrac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}=0 .
∂x2∂2z+∂y2∂2z=0.
证：因为
z
=
ln
x
2
+
y
2
=
1
2
ln
(
x
2
+
y
2
)
z=\ln \sqrt{x^{2}+y^{2}}=\cfrac{1}{2} \ln \left(x^{2}+y^{2}\right)
z=lnx2+y2
=21ln(x2+y2) ，所以
∂
z
∂
x
=
x
x
2
+
y
2
,
∂
z
∂
y
=
y
x
2
+
y
2
∂
2
z
∂
x
2
=
(
x
2
+
y
2
)
−
x
⋅
2
x
(
x
2
+
y
2
)
2
=
y
2
−
x
2
(
x
2
+
y
2
)
2
,
∂
2
z
∂
y
2
=
(
x
2
+
y
2
)
−
y
⋅
2
y
(
x
2
+
y
2
)
2
=
x
2
−
y
2
(
x
2
+
y
2
)
2
.
\begin{array}{c} \cfrac{\partial z}{\partial x}=\cfrac{x}{x^{2}+y^{2}}, \quad \cfrac{\partial z}{\partial y}=\cfrac{y}{x^{2}+y^{2}} \\ \cfrac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}=\cfrac{\left(x^{2}+y^{2}\right)-x \cdot 2 x}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}=\cfrac{y^{2}-x^{2}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}, \quad \cfrac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}=\cfrac{\left(x^{2}+y^{2}\right)-y \cdot 2 y}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}=\cfrac{x^{2}-y^{2}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}} . \end{array}
∂x∂z=x2+y2x,∂y∂z=x2+y2y∂x2∂2z=(x2+y2)2(x2+y2)−x⋅2x=(x2+y2)2y2−x2,∂y2∂2z=(x2+y2)2(x2+y2)−y⋅2y=(x2+y2)2x2−y2.
因此
∂
2
z
∂
x
2
+
∂
2
z
∂
y
2
=
y
2
−
x
2
(
x
2
+
y
2
)
2
+
x
2
−
y
2
(
x
2
+
y
2
)
2
=
0
\cfrac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}+\cfrac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}=\cfrac{y^{2}-x^{2}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}+\cfrac{x^{2}-y^{2}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}=0
∂x2∂2z+∂y2∂2z=(x2+y2)2y2−x2+(x2+y2)2x2−y2=0
例 8 证明函数
u
=
1
r
u=\cfrac{1}{r}
u=r1 满足方程
∂
2
u
∂
x
2
+
∂
2
u
∂
y
2
+
∂
2
u
∂
z
2
=
0
,
\cfrac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\cfrac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}+\cfrac{\partial^{2} u}{\partial z^{2}}=0,
∂x2∂2u+∂y2∂2u+∂z2∂2u=0,
其中
r
=
x
2
+
y
2
+
z
2
r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}
r=x2+y2+z2
． 证
∂
u
∂
x
=
−
1
r
2
∂
r
∂
x
=
−
1
r
2
⋅
x
r
=
−
x
r
3
,
∂
2
u
∂
x
2
=
−
1
r
3
+
3
x
r
4
⋅
∂
r
∂
x
=
−
1
r
3
+
3
x
2
r
5
.
\begin{array}{l} \cfrac{\partial u}{\partial x}=-\cfrac{1}{r^{2}} \cfrac{\partial r}{\partial x}=-\cfrac{1}{r^{2}} \cdot \cfrac{x}{r}=-\cfrac{x}{r^{3}}, \\ \cfrac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}=-\cfrac{1}{r^{3}}+\cfrac{3 x}{r^{4}} \cdot \cfrac{\partial r}{\partial x}=-\cfrac{1}{r^{3}}+\cfrac{3 x^{2}}{r^{5}} . \end{array}
∂x∂u=−r21∂x∂r=−r21⋅rx=−r3x,∂x2∂2u=−r31+r43x⋅∂x∂r=−r31+r53x2.
因为函数关于自变量的对称性，所以
∂
2
u
∂
y
2
=
−
1
r
3
+
3
y
2
r
5
,
∂
2
u
∂
z
2
=
−
1
r
3
+
3
z
2
r
5
.
\cfrac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}=-\cfrac{1}{r^{3}}+\cfrac{3 y^{2}}{r^{5}}, \quad \cfrac{\partial^{2} u}{\partial z^{2}}=-\cfrac{1}{r^{3}}+\cfrac{3 z^{2}}{r^{5}} .
∂y2∂2u=−r31+r53y2,∂z2∂2u=−r31+r53z2.
因此
∂
2
u
∂
x
2
+
∂
2
u
∂
y
2
+
∂
2
u
∂
z
2
=
−
3
r
3
+
3
(
x
2
+
y
2
+
z
2
)
r
5
=
−
3
r
3
+
3
r
2
r
5
=
0.
\cfrac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\cfrac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}+\cfrac{\partial^{2} u}{\partial z^{2}}=-\cfrac{3}{r^{3}}+\cfrac{3\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)}{r^{5}}=-\cfrac{3}{r^{3}}+\cfrac{3 r^{2}}{r^{5}}=0 .
∂x2∂2u+∂y2∂2u+∂z2∂2u=−r33+r53(x2+y2+z2)=−r33+r53r2=0.
例7和例8中的两个方程叫做 拉普拉斯方程（Laplace）方程 。
原文链接：高等数学 9.2 偏导数