Cao Yi
矩阵乘法的理解
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2024.02.13 农历正月初四
矩阵乘法的理解
1. 数乘
2. 向量的点积
3. 行向量与矩阵相乘
4. 矩阵相乘
5. 行变换
5.1 交换两行
5.2 将某两行相加
5.3 对某一行乘以一个数
6. 矩阵乘法另外的视角：「点积」
7. 矩阵乘法另外的视角：「列」
7.1 列变换
7.1.1 交换两列
7.1.2 将某两行相加
7.1.3 对某一列乘以一个数
8. 总结
9. 后记
矩阵是表达多维数组的重要数学工具，它的运算，加法和数乘，甚至关联的向量点积都很直观，但矩阵的乘法对于新手来说，理解起来难度比较大。记忆定义和公式或许很容易，但明了它们的来历，却需要花一番功夫去思考去演算。本文从三个不同的视角去理解矩阵乘法。
1. 数乘
先举一个简单的例子。已知某 $3 \times 2$矩阵为例子
\[\mathcal{A} =
\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12}\\
a_{21} & a_{22}\\
a_{31} & a_{32}
\end{bmatrix}\]
假设有一个实数 $k$ 和 $\mathcal{A}$ 相乘：
\[k\mathcal{A} =
k
\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12}\\
a_{21} & a_{22}\\
a_{31} & a_{32}
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
ka_{11} & ka_{12}\\
ka_{21} & ka_{22}\\
ka_{31} & ka_{32}
\end{bmatrix}\]
这其实是一个定义，也就是规定如此。
推广成一般矩阵，数乘就是：一个实数乘以一个矩阵，等于矩阵的每一项都乘以这个数，即：
\[k
\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
ka_{11} & ka_{12} & k\cdots & ka_{1n}\\
ka_{21} & ka_{22} & k\cdots & ka_{2n}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
ka_{m1} & ka_{m2} & k\cdots & ka_{mn}
\end{bmatrix}\]
2. 向量的点积
两个维度相同的向量的点积等于它们对应元素的乘积之和。
令 $\mathcal{A} = [a_{1}, a_{2}, …, a_{n}]$, $\mathcal{B} = [b_{1}, b_{2}, …, b_{n}]$
则它们的点积定义为
\[\begin{equation}
\begin{split}
\mathcal{A}\cdot\mathcal{B} &= a_{1}b_{1} + a_{2}b_{2} + \cdots + a_{n}b_{n} \nonumber \\
&= \sum_{i}^{n} a_{i}b_{i}
\end{split}
\end{equation}\]
其中 $\mathcal{A}$ 和 $\mathcal{B}$ 也可以同为列向量。
3. 行向量与矩阵相乘
行向量 $\mathcal{k}$ 与矩阵 $\mathcal{A}$ 相乘，就是把 $\mathcal{A}$ 的行向量按 $\mathcal{k}$ 提供的系数做线性组合。
还是以矩阵 $\mathcal{A}$ 为例，
\[\mathcal{A} =
\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12}\\
a_{21} & a_{22}\\
a_{31} & a_{32}
\end{bmatrix}\]
把 $\mathcal{A}$ 的三个行向量拆出来：
\[a_{1\ast} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \end{bmatrix}\]
\[a_{2\ast} = \begin{bmatrix} a_{21} & a_{22} \end{bmatrix}\]
\[a_{3\ast} = \begin{bmatrix} a_{31} & a_{32} \end{bmatrix}\]
用实数 $k_{i}$ 作系数，对它们做线性组合：
\[\begin{equation}
\begin{split}
\mathcal{L} &= k_{1}a_{1*} + k_{2}a_{2*} + k_{3}a_{3*} \nonumber \\
&= k_{1}\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \end{bmatrix}
+ k_{2}\begin{bmatrix} a_{21} & a_{22} \end{bmatrix}
+ k_{3}\begin{bmatrix} a_{31} & a_{32} \end{bmatrix} \\
&= \begin{bmatrix}
k_{1}a_{11} + k_{2}a_{21} + k_{3}a_{31}
& k_{1}a_{12} + k_{2}a_{22} + k_{3}a_{32}
\end{bmatrix} \\
&= \begin{bmatrix}
\sum_{i=1}^3 k_{i}a_{i1}
& \sum_{i=1}^3 k_{i}a_{i2}
\end{bmatrix}
\end{split}
\end{equation}\]
如此，就得到了一个新的行向量，它的维度和原矩阵的行向量的维度是一样的，等于矩阵的列数。
如果把系数 $k_{i}$ 用行向量 $\begin{bmatrix} k_{1} & k_{2} & k_{3} \end{bmatrix}$ 表示，对 $\mathcal{A}$ 的行向量做线性组合还可以这样写：
\[\begin{equation}
\begin{split}
\mathcal{L} &= \begin{bmatrix}
k_{1} & k_{2} & k_{3}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}\\
a_{31} & a_{32}
\end{bmatrix} \nonumber
\end{split}
\end{equation}\]
这里其实定义了行向量与矩阵相乘的法则：行向量与矩阵相乘，等于按行向量的值对矩阵的行向量做线性组合，最后得到一个新的行向量，即：
\[\begin{equation}
\begin{split}
\begin{bmatrix}
k_{1} & k_{2} & k_{3}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}\\
a_{31} & a_{32}
\end{bmatrix} \nonumber
&= k_{1}\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \end{bmatrix}
+ k_{2}\begin{bmatrix} a_{21} & a_{22} \end{bmatrix}
+ k_{3}\begin{bmatrix} a_{31} & a_{32} \end{bmatrix} \\
&= \begin{bmatrix}
k_{1}a_{11} + k_{2}a_{21} + k_{3}a_{31}
& k_{1}a_{12} + k_{2}a_{22} + k_{3}a_{32}
\end{bmatrix}
\end{split}
\end{equation}\]
推广到更一般的情况，$\begin{bmatrix}k_{1} & k_{2} & \cdots & k_{m}\end{bmatrix}$ 乘以 $\mathcal{A}$ 相当于用实数 $k_{i}$ 作系数，对矩阵 $\mathcal{A}$ 的行做线性组合，计算过程如下：
\[\begin{equation}
\begin{aligned}
\begin{bmatrix}
k_{1} & k_{2} & \cdots & k_{m}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}
\end{bmatrix}
&= k_{1}\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \end{bmatrix} \\
&+ k_{2}\begin{bmatrix} a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \end{bmatrix} \\
&+ \cdots \\
&+ k_{m}\begin{bmatrix} a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix} \nonumber \\
&= \begin{bmatrix}
\sum_{i=1}^m k_{i}a_{i1} &
\sum_{i=1}^m k_{i}a_{i2} &
\cdots &
\sum_{i=1}^m k_{i}a_{in}
\end{bmatrix}
\end{aligned}
\end{equation}\]
行向量 $\begin{bmatrix}k_{1} & k_{2} & \cdots & k_{m}\end{bmatrix}$ 可以视作组合规则，它的元素个数就是矩阵 $A$ 的行数 $m$. 这里也可以看出向量 $\mathcal{k}$ 的维度必须和矩阵 $\mathcal{A}$ 的行数匹配，它们必须相等，不然少了多了，都不能计算。
4. 矩阵相乘
因为行向量也是矩阵，所以前面提到的行向量和矩阵相乘，算是矩阵相乘的特殊形式：行数为1的矩阵和普通矩阵相乘。这里将推广到两个一般矩阵相乘，还是从行向量的线性组合的视角来解释。
假设有两个矩阵 $\mathcal{K}$, $\mathcal{A}$，不妨把 $\mathcal{K}$ 称为称为变换规则矩阵，简称规则矩阵，把 $\mathcal{A}$ 称为目标矩阵，$\mathcal{K}$ 的每一行都是一条变换规则。$\mathcal{K}$ 和 $\mathcal{A}$ 相乘，就是把 $\mathcal{A}$ 按 $\mathcal{K}$ 提供的规则变化为一个新的矩阵，假若这个新矩阵是 $\mathcal{B}$.
$\mathcal{K}\mathcal{A} = \mathcal{B}$ 即 $\mathcal{A} \xrightarrow{\mathcal{K}} \mathcal{B}$
还可以理解为函数 $\mathcal{K}$ 作用于变量 $\mathcal{A}$ 得到 $\mathcal{B}$，即 $\mathcal{K}(\mathcal{A}) = \mathcal{B}$
结合前面的「行向量和矩阵相乘」，当 $\mathcal{K}$ 只有一行时，$\mathcal{K}\mathcal{A}$ 是一个行向量，即 $\mathcal{A}$ 的行向量的一个线性组合。当 $\mathcal{A}$ 有两行时，就把 $\mathcal{A}$ 的行向量线性组合两次，两次的结果用矩阵记在一起。
假设
\[\mathcal{K} = \begin{bmatrix}
k_{11} & k_{12} & k_{13} \\
k_{21} & k_{22} & k_{23}
\end{bmatrix},
\mathcal{A} =
\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12}\\
a_{21} & a_{22}\\
a_{31} & a_{32}
\end{bmatrix}\]
则 $\mathcal{K}\mathcal{A}$ 的值是 $\mathcal{K}$ 的第一行和第二行分别与 $\mathcal{A}$ 相乘后的结果组成的矩阵
\[\begin{equation}
\begin{split}
\mathcal{k_{1*}}\mathcal{A} &= \begin{bmatrix}
k_{11} & k_{12} & k_{13}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12}\\
a_{21} & a_{22}\\
a_{31} & a_{32}
\end{bmatrix} \nonumber \\
&= \begin{bmatrix}
k_{11}a_{11} + k_{12}a_{21} + k_{13}a_{31}
& k_{11}a_{12} + k_{12}a_{22} + k_{13}a_{32}
\end{bmatrix}
\end{split}
\end{equation}\]
\[\begin{equation}
\begin{split}
\mathcal{k_{2*}}\mathcal{A} &= \begin{bmatrix}
k_{21} & k_{22} & k_{23}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12}\\
a_{21} & a_{22}\\
a_{31} & a_{32}
\end{bmatrix} \nonumber \\
&= \begin{bmatrix}
k_{21}a_{11} + k_{22}a_{21} + k_{23}a_{31}
& k_{21}a_{12} + k_{22}a_{22} + k_{23}a_{32}
\end{bmatrix}
\end{split}
\end{equation}\]
所以
\[\begin{equation}
\begin{split}
\mathcal{K}\mathcal{A} &= \begin{bmatrix}
k_{11} & k_{12} & k_{13} \\
k_{21} & k_{22} & k_{23}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12}\\
a_{21} & a_{22}\\
a_{31} & a_{32}
\end{bmatrix} \nonumber \\
&= \begin{bmatrix}
k_{11}a_{11} + k_{12}a_{21} + k_{13}a_{31}
& k_{11}a_{12} + k_{12}a_{22} + k_{13}a_{32} \\
k_{21}a_{11} + k_{22}a_{21} + k_{23}a_{31}
& k_{21}a_{12} + k_{22}a_{22} + k_{23}a_{32}
\end{bmatrix}
\end{split}
\end{equation}\]
推广到更一般的情况，$\mathcal{K}\mathcal{A}$ 就是用 $\mathcal{K}$ 的每一个行向量去乘以矩阵 $\mathcal{A}$，然后把所得的结果组合成一个新的矩阵。
因为 $\mathcal{A}$ 是一个 $m \times n$ 矩阵，$\mathcal{K}$ 要和它相乘，$\mathcal{K}$ 每行的维度即 $\mathcal{K}$ 的列数必须和 $\mathcal{A}$ 的行数对应，即 $\mathcal{K}$ 有 $m$ 列。$\mathcal{K}$ 的行数任意，它取决于需要对 $\mathcal{A}$ 做多少次线性组合。因此不妨假设 $\mathcal{K}$ 是 $p \times m$ 矩阵，它们的乘积计算定义如下：
\[\begin{equation}
\begin{aligned}
\mathcal{K}\mathcal{A} &= \begin{bmatrix}
k_{11} & k_{12} & \cdots & k_{1m} \\
k_{21} & k_{22} & \cdots & k_{2m} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
k_{p1} & k_{p2} & \cdots & k_{pm}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}
\end{bmatrix} \nonumber \\
&= \begin{bmatrix}
\sum_{i=1}^m k_{1i}a_{i1} & \sum_{i=1}^m k_{1i}a_{i2} & \cdots & \sum_{i=1}^m k_{1i}a_{in} \\
\sum_{i=1}^m k_{2i}a_{i1} & \sum_{i=1}^m k_{2i}a_{i2} & \cdots & \sum_{i=1}^m k_{2i}a_{in} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
\sum_{i=1}^m k_{pi}a_{i1} & \sum_{i=1}^m k_{pi}a_{i2} & \cdots & \sum_{i=1}^m k_{pi}a_{in} \\
\end{bmatrix}
\end{aligned}
\end{equation}\]
上面这个式子看着有点头大，只是为了说明，只要了解它的定义过程，也就很简单了。
5. 行变换
矩阵的行变换，都是由下面的几种基本变换组合而来的：交换两行，将某两行相加，对某一行乘以一个数。结合前面讲过的矩阵乘法，这些变换相当于用一个规则矩阵去乘目标矩阵。
还是以矩阵 $\mathcal{A}$ 为例：
\[\mathcal{A} =
\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12}\\
a_{21} & a_{22}\\
a_{31} & a_{32}
\end{bmatrix}\]
5.1 交换两行
交换第一和第二行
\[\mathcal{K}\mathcal{A} =
\begin{bmatrix}
0 & 1 & 0\\
1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix} \nonumber
\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12}\\
a_{21} & a_{22}\\
a_{31} & a_{32}
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
a_{21} & a_{22}\\
a_{11} & a_{12}\\
a_{31} & a_{32}
\end{bmatrix} \\\]
可以直观地认为，$\mathcal{K}$ 就是把单位矩阵对应的行调整一下。
5.2 将某两行相加
将第三行和加到第一行，另两行不变。
\[\mathcal{K}\mathcal{A} =
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 1\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix} \nonumber
\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12}\\
a_{21} & a_{22}\\
a_{31} & a_{32}
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
a_{11} + a_{31}& a_{12} + a_{32}\\
a_{21} & a_{22}\\
a_{31} & a_{32}
\end{bmatrix} \\\]
可以直观地认为，$\mathcal{K}$ 就是把单位矩阵第三行加到第一行。
5.3 对某一行乘以一个数
将第二行的元素变为原先的 $k$ 倍。
\[\mathcal{K}\mathcal{A} =
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & k & 0\\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix} \nonumber
\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12}\\
a_{21} & a_{22}\\
a_{31} & a_{32}
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12}\\
ka_{21} & ka_{22}\\
a_{31} & a_{32}
\end{bmatrix} \\\]
可以直观地认为，$\mathcal{K}$ 就是把单位矩阵第二行乘以 $k$ 即可。
6. 矩阵乘法另外的视角：「点积」
前面直接定义了矩阵的数乘，向量的点乘，并从行变换出发定义了矩阵的乘法，一切都像是很自然。根据矩阵乘法的结果，还可以从点积的视角去定义矩阵乘法的结果。
从简单的实例出发，还是用前面示例用到过的矩阵。
假设
\[\mathcal{K} = \begin{bmatrix}
k_{11} & k_{12} & k_{13} \\
k_{21} & k_{22} & k_{23}
\end{bmatrix},
\mathcal{A} =
\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12}\\
a_{21} & a_{22}\\
a_{31} & a_{32}
\end{bmatrix}\]
有
\[\begin{equation}
\begin{split}
\mathcal{K}\mathcal{A} &= \begin{bmatrix}
k_{11} & k_{12} & k_{13} \\
k_{21} & k_{22} & k_{23}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12}\\
a_{21} & a_{22}\\
a_{31} & a_{32}
\end{bmatrix} \nonumber \\
&= \begin{bmatrix}
k_{11}a_{11} + k_{12}a_{21} + k_{13}a_{31}
& k_{11}a_{12} + k_{12}a_{22} + k_{13}a_{32} \\
k_{21}a_{11} + k_{22}a_{21} + k_{23}a_{31}
& k_{21}a_{12} + k_{22}a_{22} + k_{23}a_{32}
\end{bmatrix}
\end{split}
\end{equation}\]
矩阵 $\mathcal{K}\mathcal{A}$ 的行数和 $\mathcal{K}$ 相等，列数和 $\mathcal{A}$ 相等。它的元素是在 $\mathcal{K}$ 中对应的行向量和在 $\mathcal{A}$ 中对应的列向量的点积。
假设 $\mathcal{K}\mathcal{A} = \mathcal{B}$，则 $b_{ij} = k_{i\ast} \cdot a_{\ast j}$
7. 矩阵乘法另外的视角：「列」
观察 $\mathcal{K}\mathcal{A}$ 的结果：
\[\begin{equation}
\begin{split}
\mathcal{K}\mathcal{A} &= \begin{bmatrix}
k_{11} & k_{12} & k_{13} \\
k_{21} & k_{22} & k_{23}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12}\\
a_{21} & a_{22}\\
a_{31} & a_{32}
\end{bmatrix} \nonumber \\
&= \begin{bmatrix}
k_{11}a_{11} + k_{12}a_{21} + k_{13}a_{31}
& k_{11}a_{12} + k_{12}a_{22} + k_{13}a_{32} \\
k_{21}a_{11} + k_{22}a_{21} + k_{23}a_{31}
& k_{21}a_{12} + k_{22}a_{22} + k_{23}a_{32}
\end{bmatrix}
\end{split}
\end{equation}\]
$\mathcal{K}\mathcal{A}$ 的第一列，是以 $\mathcal{A}$ 的第一列为规则，对 $\mathcal{K}$ 按列进行线性组合。
\[\begin{equation}
\begin{split}
\begin{bmatrix}
k_{11}a_{11} + k_{12}a_{21} + k_{13}a_{31} \\
k_{21}a_{11} + k_{22}a_{21} + k_{23}a_{31}
\end{bmatrix} = \nonumber
a_{11} \begin{bmatrix} k_{11} \\ k_{21}\end{bmatrix} +
a_{21} \begin{bmatrix} k_{12} \\ k_{22}\end{bmatrix} +
a_{31} \begin{bmatrix} k_{13} \\ k_{23}\end{bmatrix}
\end{split}
\end{equation}\]
$\mathcal{K}\mathcal{A}$ 的第二列，是以 $\mathcal{A}$ 的第二列为规则，对 $\mathcal{K}$ 按列进行线性组合。
如此，矩阵乘法还可以从列的视角来看，$\mathcal{K}\mathcal{A}$ 可以视作以 $\mathcal{A}$ 为规则矩阵，对 $\mathcal{K}$ 的列做线性组合。
7.1 列变换
既然可以从列的视角定义矩阵乘法，那么我们应该可以构造一些简单的列变换。交换两列，将某两列相加，对某一列乘以一个数。结合上一节内容，这些变换相当于用一个目标矩阵去乘规则矩阵。
假设
\[\mathcal{C} =
\begin{bmatrix}
c_{11} & c_{12} & c_{13} & c_{14}\\
c_{21} & c_{22} & c_{23} & c_{24}
\end{bmatrix}\]
7.1.1 交换两列
交换第一和第二列
\[\mathcal{C}\mathcal{K} =
\begin{bmatrix}
c_{11} & c_{12} & c_{13} & c_{14}\\
c_{21} & c_{22} & c_{23} & c_{24}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
0 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix} \nonumber
=
\begin{bmatrix}
c_{12} & c_{11} & c_{13} & c_{14}\\
c_{22} & c_{21} & c_{23} & c_{24}
\end{bmatrix}\]
可以直观地认为，$\mathcal{K}$ 就是把单位矩阵对应的列调整一下。
7.1.2 将某两行相加
将第三列和加到第一列，另三行不变。
\[\mathcal{C}\mathcal{K} =
\begin{bmatrix}
c_{11} & c_{12} & c_{13} & c_{14}\\
c_{21} & c_{22} & c_{23} & c_{24}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix} \nonumber
=
\begin{bmatrix}
c_{11} + c_{13} & c_{12} & c_{13} & c_{14}\\
c_{21} + c_{23} & c_{22} & c_{23} & c_{24}
\end{bmatrix}\]
可以直观地认为，$\mathcal{K}$ 就是把单位矩阵第三列加到第一列。
7.1.3 对某一列乘以一个数
将第二列的元素变为原先的 $k$ 倍。
\[\mathcal{C}\mathcal{K} =
\begin{bmatrix}
c_{11} & c_{12} & c_{13} & c_{14}\\
c_{21} & c_{22} & c_{23} & c_{24}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & k & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix} \nonumber
=
\begin{bmatrix}
c_{11} & kc_{12} & c_{13} & c_{14}\\
c_{21} & kc_{22} & c_{23} & c_{24}
\end{bmatrix}\]
可以直观地认为，$\mathcal{K}$ 就是把单位矩阵第二列乘以 $k$ 即可。
8. 总结
数学是基于假设的学科，而定义就是假设，由一个定义出发，可以推出一些结论。有时候定义A和定义B是可以相互推出的，如果以A为定义，B就是推论，反之亦然。通过本文对矩阵乘法定义的考察，无论从行还是从列还是从点积的视角来看，都能得到相同的乘法结果，但是，从行的角度来看能帮助我们更自然更容易理解矩阵的行变换，同理，从列的角度来看又能帮助我们理解矩阵的列变换。而从点积的角度，可以帮助我们去完成一些繁琐的证明，只不过有点缺乏直觉和美感。
矩阵乘法简单汇总如下：
从行运算看：矩阵$\mathcal{A}$和$\mathcal{B}$相乘，用左边的矩阵$\mathcal{A}$的各行为规则对右边的矩阵$\mathcal{B}$按行做线性变换。
从列运算看：矩阵$\mathcal{A}$和$\mathcal{B}$相乘，用右边的矩阵$\mathcal{B}$的各列为规则对左边的矩阵$\mathcal{A}$按列做线性变换。
从点积运算看：$\mathcal{A}\mathcal{B}$的的某个位置的元素 $c_{ij} = a_{i\ast}b_{\ast j}$
9. 后记
2024年初，无意在网上看到马同学的线性代数教程，它对矩阵乘法的讲解就分了三种观点：行观点、点积观点、列观点。我在阅读之后很受启发，这段时间也有空想了一些，于是有了此文。
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